Решить 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Найдите x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$4x-y=5$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$4x=y+5$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Подставьте \frac{5+y}{4} вместо x в другом уравнении -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Умножьте -4 на \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Прибавьте -y к 5y.

$$4y-5=7$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$4y=12$$

Разделите обе части на 4.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Умножьте \frac{1}{4} на 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к \frac{3}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=3$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=2,y=3$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Чтобы сделать 4x и -4x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на -4 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Упростите.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Вычтите -16x+20y=28 из -16x+4y=-20 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Прибавьте -16x к 16x. Члены -16x и 16x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$4y-20y=-20-28$$

Прибавьте 4y к -20y.

$$-16y=-20-28$$

Прибавьте -20 к -28.

$$-16y=-48$$

Разделите обе части на -16.

$$y=3$$

Подставьте 3 вместо y в -4x+5y=7. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Умножьте 5 на 3.

$$-4x+15=7$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$-4x=-8$$

Разделите обе части на -4.

$$x=2$$

Система решена.

$$x=2,y=3$$