Решить 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$4x-5y=-14$$

Прибавьте 5y к обеим частям уравнения.

$$4x=5y-14$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Подставьте \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} вместо x в другом уравнении 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Умножьте 7 на \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Прибавьте \frac{35y}{4} к y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Прибавьте \frac{49}{2} к обеим частям уравнения.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{39}{4}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Умножьте \frac{5}{4} на 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Прибавьте -\frac{7}{2} к \frac{5}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Чтобы сделать 4x и 7x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 7 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Упростите.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Вычтите 28x+4y=-20 из 28x-35y=-98 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Прибавьте 28x к -28x. Члены 28x и -28x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-35y-4y=-98+20$$

Прибавьте -35y к -4y.

$$-39y=-98+20$$

Прибавьте -98 к 20.

$$-39y=-78$$

Разделите обе части на -39.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в 7x+y=-5. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$7x+2=-5$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$7x=-7$$

Разделите обе части на 7.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=2$$