Решить 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$4x-3y=2$$

Прибавьте 3y к обеим частям уравнения.

$$4x=3y+2$$

Разделите обе части на 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Умножьте \frac{1}{4} на 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Подставьте \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} вместо x в другом уравнении x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Прибавьте \frac{3y}{4} к 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{23}{4}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Умножьте \frac{3}{4} на -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к -\frac{3}{2}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=-2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Чтобы сделать 4x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Упростите.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Вычтите 4x+20y=-44 из 4x-3y=2 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Прибавьте 4x к -4x. Члены 4x и -4x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-3y-20y=2+44$$

Прибавьте -3y к -20y.

$$-23y=2+44$$

Прибавьте 2 к 44.

$$-23y=46$$

Разделите обе части на -23.

$$y=-2$$

Подставьте -2 вместо y в x+5y=-11. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Умножьте 5 на -2.

$$x-10=-11$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-2$$