Решить 4x(x-4)+7geq0

$$4 x ( x - 4 ) + 7 \geq 0$$

Решение для x

$$x\in (-\infty,\frac{1}{2}]\cup [\frac{7}{2},\infty)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 4x на x-4, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}-16x+7\geq 0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+7=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на -16 и c на 7.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{16±12}{8}$$

Решение x=\frac{16±12}{8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$4\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\geq 0$$

Для ≥0, x-\frac{7}{2} и x-\frac{1}{2} должны иметь обе ≤0 или оба ≥0. Рекомендуется использовать в случае, если x-\frac{7}{2} и x-\frac{1}{2} указаны ≤0.

$$x-\frac{7}{2}\leq 0 x-\frac{1}{2}\leq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\leq \frac{1}{2}.

$$x\leq \frac{1}{2}$$

Рекомендуется использовать в случае, если x-\frac{7}{2} и x-\frac{1}{2} указаны ≥0.

$$x-\frac{1}{2}\geq 0 x-\frac{7}{2}\geq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\geq \frac{7}{2}.

$$x\geq \frac{7}{2}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\leq \frac{1}{2}\text{; }x\geq \frac{7}{2}$$