Решить 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -9.

$$a=-12 b=3$$

Перепишите 4x^{2}-9x-9 как \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и 4x+3=0у.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -9 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Прибавьте 81 к 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{9±15}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

Разделите 24 на 8.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{9±15}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 15 из 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Привести дробь \frac{-6}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

Деление -\frac{9}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Прибавьте \frac{9}{4} к \frac{81}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Прибавьте \frac{9}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$