Решить 4x^2-9x+2=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x + 2 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -9.

$$a=-8 b=-1$$

Перепишите 4x^{2}-9x+2 как \left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-x+2\right)$$

Разложите 4x в первом и -1 в второй группе.

$$4x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(4x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 4x-1=0у.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -9 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Прибавьте 81 к -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{9±7}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{9±7}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 7.

$$x=\frac{16}{8}$$

Разделите 16 на 8.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{9±7}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-9x+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-9x=-2$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=-\frac{2}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{2}{4}$$

Привести дробь \frac{-2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{1}{2}$$

Деление -\frac{9}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Прибавьте -\frac{1}{2} к \frac{81}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Прибавьте \frac{9}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=\frac{1}{4}$$