Решить 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-10 b=2$$

Перепишите 4x^{2}-8x-5 как \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и 2x+1=0у.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -8 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Прибавьте 64 к 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{8±12}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Привести дробь \frac{20}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{8±12}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Привести дробь \frac{-4}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Разделите -8 на 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Прибавьте \frac{5}{4} к 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$