Решить 4x^2-8x+16=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x + 16 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -8 вместо b и 16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\times 16}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-256}}{2\times 4}$$

Прибавьте 64 к -256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-192}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{8+8\sqrt{3}i}{8}$$

Разделите 8+8i\sqrt{3} на 8.

$$x=1+\sqrt{3}i$$

Решите уравнение x=\frac{8±8\sqrt{3}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 8i\sqrt{3} из 8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i+8}{8}$$

Разделите 8-8i\sqrt{3} на 8.

$$x=-\sqrt{3}i+1$$

Уравнение решено.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x+16=0$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-8x+16-16=-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-8x=-16$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -8 на 4.

$$x^{2}-2x=-\frac{16}{4}$$

Разделите -16 на 4.

$$x^{2}-2x=-4$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=-4+1$$

Прибавьте -4 к 1.

$$x^{2}-2x+1=-3$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-3$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Упростите.

$$x-1=\sqrt{3}i x-1=-\sqrt{3}i$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=1+\sqrt{3}i x=-\sqrt{3}i+1$$