Решить 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-4 b=-3$$

Перепишите 4x^{2}-7x+3 как \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Разложите 4x в первом и -3 в второй группе.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 4x-3=0у.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -7 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Прибавьте 49 к -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{7±1}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделите 8 на 8.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{7±1}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Привести дробь \frac{6}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Деление -\frac{7}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Прибавьте -\frac{3}{4} к \frac{49}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Прибавьте \frac{7}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$