Решить 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -5 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25 к 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{41} из 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Деление -\frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{25}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Прибавьте \frac{5}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$