Решить 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-4 b=-1$$

Перепишите 4x^{2}-5x+1 как \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

Разложите 4x в первом и -1 в второй группе.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 4x-1=0у.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -5 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25 к -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{5±3}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Разделите 8 на 8.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{5±3}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Деление -\frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Прибавьте -\frac{1}{4} к \frac{25}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Прибавьте \frac{5}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$