Решить 4x^2-4x-23=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 23 = 0$$

Найдите x

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}\approx 2,949489743$$

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}\approx -1,949489743$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и -23 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-23\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -23.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+368}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 368.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{384}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 384.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 8\sqrt{6}.

$$x=\frac{8\sqrt{6}+4}{8}$$

Разделите 4+8\sqrt{6} на 8.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±8\sqrt{6}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{6} из 4.

$$x=\frac{4-8\sqrt{6}}{8}$$

Разделите 4-8\sqrt{6} на 8.

$$x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Уравнение решено.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-23=0$$

Прибавьте 23 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-4x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Если из -23 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-23\right)$$

Вычтите -23 из 0.

$$4x^{2}-4x=23$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{23}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{23}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{23}{4}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{23}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{23+1}{4}$$

Прибавьте \frac{23}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=6$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\sqrt{6} x-\frac{1}{2}=-\sqrt{6}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{6}+\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}-\sqrt{6}$$