Решить 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 4 продукта.

$$-1,-4 -2,-2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-2 b=-2$$

Перепишите 4x^{2}-4x+1 как \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Вынесите за скобки 2x в первой и -1 во второй группе.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Привести дробь \frac{4}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Разделите -1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Прибавьте -\frac{1}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Разложите x^{2}-x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{1}{2}$$