Решить 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-11. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -20.

$$a=-22 b=2$$

Перепишите 4x^{2}-20x-11 как \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Вынесите за скобки общий член 2x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-11=0 и 2x+1=0у.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -20 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -20 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Прибавьте 400 к 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

Число, противоположное -20, равно 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{20±24}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 20 к 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Привести дробь \frac{44}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{20±24}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 24 из 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Привести дробь \frac{-4}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Прибавьте 11 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Если из -11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Вычтите -11 из 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Разделите -20 на 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Прибавьте \frac{11}{4} к \frac{25}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$