Решить 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -2 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Прибавьте 4 к -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Разделите 2+2i\sqrt{35} на 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{35} из 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Разделите 2-2i\sqrt{35} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Привести дробь \frac{-2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Деление -\frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте -\frac{9}{4} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$