Решить 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -18 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Возведите -18 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Прибавьте 324 к -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -18, равно 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 18 к 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Разделите 18+2\sqrt{61} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{61} из 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Разделите 18-2\sqrt{61} на 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Привести дробь \frac{-18}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Разделите -\frac{9}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{9}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Прибавьте -\frac{5}{4} к \frac{81}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Разложите x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Прибавьте \frac{9}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$