Решить 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-14x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -14 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Прибавьте 196 к 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Разделите 14+2\sqrt{85} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{85} из 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Разделите 14-2\sqrt{85} на 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Привести дробь \frac{-14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Деление -\frac{7}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Прибавьте \frac{9}{4} к \frac{49}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Прибавьте \frac{7}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$