Решить 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-27. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -12.

$$a=-18 b=6$$

Перепишите 4x^{2}-12x-27 как \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-9=0 и 2x+3=0у.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -12 вместо b и -27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Прибавьте 144 к 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{12±24}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Привести дробь \frac{36}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{12±24}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 24 из 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{-12}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Прибавьте 27 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Если из -27 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Вычтите -27 из 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Разделите -12 на 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Прибавьте \frac{27}{4} к \frac{9}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$