Решить 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -12.

$$a=-6 b=-6$$

Перепишите 4x^{2}-12x+9 как \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

Разложите 2x в первом и -3 в второй группе.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -12 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Прибавьте 144 к -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{12}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Разделите -12 на 4.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Прибавьте -\frac{9}{4} к \frac{9}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{3}{2}$$