Решить 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Вычтите 16 из 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -11 вместо b и 14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Прибавьте 121 к -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{103} из 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Если из 30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Вычтите 30 из 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Привести дробь \frac{-14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Деление -\frac{11}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Прибавьте -\frac{7}{2} к \frac{121}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Прибавьте \frac{11}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$