Решить 4x^2-10x+8=0

$$4 x ^ { 2 } - 10 x + 8 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}\approx 1,25+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}\approx 1,25-0,661437828i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-10x+8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -10 вместо b и 8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 8}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 8}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-128}}{2\times 4}$$

Прибавьте 100 к -128.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-28}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -28.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 2i\sqrt{7}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{7}i}{8}$$

Разделите 10+2i\sqrt{7} на 8.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{10±2\sqrt{7}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{7} из 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+10}{8}$$

Разделите 10-2i\sqrt{7} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-10x+8=0$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-10x+8-8=-8$$

Если из 8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-10x=-8$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{8}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{8}{4}$$

Привести дробь \frac{-10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{8}{4}$$

Разделите -8 на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-2$$

Деление -\frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-2+\frac{25}{16}$$

Прибавьте -2 к \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{7}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+5}{4}$$