Решить 4x^2+8x-45<0

$$4 x ^ { 2 } + 8 x - 45 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+8x-45=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 4, b на 8 и c на -45.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-45\right)}}{2\times 4}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-8±28}{8}$$

Решение x=\frac{-8±28}{8} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{9}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{5}{2} и x+\frac{9}{2} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{5}{2} положительное и x+\frac{9}{2} отрицательно.

$$x-\frac{5}{2}>0 x+\frac{9}{2}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x+\frac{9}{2} положительное и x-\frac{5}{2} отрицательно.

$$x+\frac{9}{2}>0 x-\frac{5}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right).

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(-\frac{9}{2},\frac{5}{2}\right)$$