Решить 4x^2+7x+33=0

$$4 x ^ { 2 } + 7 x + 33 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}\approx -0,875+2,735758579i$$

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}\approx -0,875-2,735758579i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 7 вместо b и 33 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 33}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 33}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 33.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-528}}{2\times 4}$$

Прибавьте 49 к -528.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-479}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -479.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к i\sqrt{479}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{479}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{479} из -7.

$$x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x+33=0$$

Вычтите 33 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+7x+33-33=-33$$

Если из 33 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+7x=-33$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=-\frac{33}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{33}{4}$$

Разделите \frac{7}{4}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{7}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{8} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{33}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{33}{4}+\frac{49}{64}$$

Прибавьте -\frac{33}{4} к \frac{49}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{479}{64}$$

Разложите x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{479}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{479}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{479}i}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{479}i}{8}$$

Вычтите \frac{7}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-7+\sqrt{479}i}{8} x=\frac{-\sqrt{479}i-7}{8}$$