Решить 4x^2+6x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}\approx -0.190983006$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}\approx -1.309016994$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 6 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 36 к -16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 20.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-6}{8}$$

Разделите -6+2\sqrt{5} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{5}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{5} из -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-6}{8}$$

Разделите -6-2\sqrt{5} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+6x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+6x=-1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Привести дробь \frac{6}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$$

Разделите \frac{3}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$$

Прибавьте -\frac{1}{4} к \frac{9}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Вычтите \frac{3}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{5}-3}{4}$$