Решить 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-81. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 48.

$$a=-6 b=54$$

Перепишите 4x^{2}+48x-81 как \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Разложите 2x в первом и 27 в второй группе.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и 2x+27=0у.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 48 вместо b и -81 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 48 в квадрат.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Прибавьте 2304 к 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-48±60}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -48 к 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{12}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-48±60}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 60 из -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Привести дробь \frac{-108}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Прибавьте 81 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Если из -81 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Вычтите -81 из 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Разделите 48 на 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Деление 12, коэффициент x термина, 2 для получения 6. Затем добавьте квадрат 6 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Прибавьте \frac{81}{4} к 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Коэффициент x^{2}+12x+36. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Упростите.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$