Решить 4x^2+4x=5

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 5$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}\approx 0,724744871$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}\approx -1,724744871$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+4x=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x-5=5-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+4x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 4 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+80}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 80.

$$x=\frac{-4±\sqrt{96}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 96.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}-4}{8}$$

Разделите -4+4\sqrt{6} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±4\sqrt{6}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{6} из -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}-4}{8}$$

Разделите -4-4\sqrt{6} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=5$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{5}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{5}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x^{2}+x=\frac{5}{4}$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{5+1}{4}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{6}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$$