Решить 4x^2+4x=1

$$4 x ^ { 2 } + 4 x = 1$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+4x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 4 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Разделите -4+4\sqrt{2} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{2} из -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Разделите -4-4\sqrt{2} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$