Решить 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 4 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Разделите -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} на 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Решите уравнение x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 8i\sqrt{2} из -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Разделите -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} на 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Прибавьте -\frac{9}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$