Решить 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 4 продукта.

$$1,4 2,2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+4=5 2+2=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 4.

$$a=2 b=2$$

Перепишите 4x^{2}+4x+1 как \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Вынесите за скобки общий член 2x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 4 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Привести дробь \frac{-4}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Прибавьте -\frac{1}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=-\frac{1}{2}$$