Решить 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 10.

$$1,10 2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=2 b=5$$

Перепишите x^{2}+7x+10 как \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Разложите x в первом и 5 в второй группе.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x+2=0 и x+5=0у.

$$x=-2 x=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 28 вместо b и 40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Возведите 28 в квадрат.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Прибавьте 784 к -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±12}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -28 к 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Разделите -16 на 8.

$$x=-2$$

Решите уравнение x=\frac{-28±12}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Разделите -40 на 8.

$$x=-5$$

Уравнение решено.

$$x=-2 x=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Если из 40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Разделите 28 на 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Разделите -40 на 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Деление 7, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Прибавьте -10 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Коэффициент x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Вычтите \frac{7}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=-2 x=-5$$