Решить 4x^2+2x-8=0

$$4 x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{33} - 1}{4} \approx 1,186140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\approx -1,686140662$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 2 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+128}}{2\times 4}$$

Прибавьте 4 к 128.

$$x=\frac{-2±\sqrt{132}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 132.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2\sqrt{33}.

$$x=\frac{2\sqrt{33}-2}{8}$$

Разделите -2+2\sqrt{33} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{33} из -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{33}-2}{8}$$

Разделите -2-2\sqrt{33} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+2x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+2x=-\left(-8\right)$$

Вычтите -8 из 0.

$$4x^{2}+2x=8$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{8}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{8}{4}$$

Привести дробь \frac{2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{8}{4}$$

Разделите 8 на 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=2$$

Разделите \frac{1}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=2+\frac{1}{16}$$

Прибавьте 2 к \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$$

Разложите x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Вычтите \frac{1}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$