Решить 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 14 вместо b и -27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Прибавьте 196 к 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Разделите -14+2\sqrt{157} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{157} из -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Разделите -14-2\sqrt{157} на 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Прибавьте 27 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Если из -27 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Вычтите -27 из 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Привести дробь \frac{14}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Деление \frac{7}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Прибавьте \frac{27}{4} к \frac{49}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Вычтите \frac{7}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$