Решить 4x^2+110x+25=0

$$4 x ^ { 2 } + 110 x + 25 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}\approx -0,229182717$$

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}\approx -27,270817283$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 110 вместо b и 25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-110±\sqrt{110^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Возведите 110 в квадрат.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-16\times 25}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на 25.

$$x=\frac{-110±\sqrt{12100-400}}{2\times 4}$$

Прибавьте 12100 к -400.

$$x=\frac{-110±\sqrt{11700}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 11700.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -110 к 30\sqrt{13}.

$$x=\frac{30\sqrt{13}-110}{8}$$

Разделите -110+30\sqrt{13} на 8.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-110±30\sqrt{13}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 30\sqrt{13} из -110.

$$x=\frac{-30\sqrt{13}-110}{8}$$

Разделите -110-30\sqrt{13} на 8.

$$x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+110x+25=0$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+110x+25-25=-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+110x=-25$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+110x}{4}=-\frac{25}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{110}{4}x=-\frac{25}{4}$$

Привести дробь \frac{110}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x=-\frac{25}{4}$$

Деление \frac{55}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{55}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{55}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(\frac{55}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{55}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=-\frac{25}{4}+\frac{3025}{16}$$

Прибавьте -\frac{25}{4} к \frac{3025}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}=\frac{2925}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{55}{2}x+\frac{3025}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}=\frac{2925}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2925}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{55}{4}=\frac{15\sqrt{13}}{4} x+\frac{55}{4}=-\frac{15\sqrt{13}}{4}$$

Вычтите \frac{55}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{15\sqrt{13}-55}{4} x=\frac{-15\sqrt{13}-55}{4}$$