Решить 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-20. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=-5 b=16$$

Перепишите 4x^{2}+11x-20 как \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-5=0 и x+4=0у.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 11 вместо b и -20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Прибавьте 121 к 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±21}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Привести дробь \frac{10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±21}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 21 из -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Разделите -32 на 8.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Прибавьте 20 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Если из -20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Вычтите -20 из 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Разделите 20 на 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Деление \frac{11}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Прибавьте 5 к \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Вычтите \frac{11}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$