Решить 4x+102=-20x(3-6x)

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1,226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0,69307867$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить -20x на 3-6x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Прибавьте 60x к обеим частям.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Объедините 4x и 60x, чтобы получить 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Вычтите 120x^{2} из обеих частей уравнения.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -120 вместо a, 64 вместо b и 102 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Возведите 64 в квадрат.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Умножьте -4 на -120.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Умножьте 480 на 102.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

Прибавьте 4096 к 48960.

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 53056.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

Умножьте 2 на -120.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

Решите уравнение x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -64 к 8\sqrt{829}.

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Разделите -64+8\sqrt{829} на -240.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Решите уравнение x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{829} из -64.

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Разделите -64-8\sqrt{829} на -240.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить -20x на 3-6x, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Прибавьте 60x к обеим частям.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Объедините 4x и 60x, чтобы получить 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Вычтите 120x^{2} из обеих частей уравнения.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Вычтите 102 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$64x-120x^{2}=-102$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-120x^{2}+64x=-102$$

Разделите обе части на -120.

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

Деление на -120 аннулирует операцию умножения на -120.

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

Привести дробь \frac{64}{-120} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

Привести дробь \frac{-102}{-120} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

Разделите -\frac{8}{15}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{4}{15}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{15} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{15} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

Прибавьте \frac{17}{20} к \frac{16}{225}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

Разложите x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

Упростите.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

Прибавьте \frac{4}{15} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$