Решить 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

Найдите p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4p^{2}+ap+bp-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-8 b=5$$

Перепишите 4p^{2}-3p-10 как \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right).

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

Разложите 4p в первом и 5 в второй группе.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член p-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите p-2=0 и 4p+5=0у.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -3 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Прибавьте 9 к 160.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

Решите уравнение p=\frac{3±13}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 13.

$$p=\frac{16}{8}$$

Разделите 16 на 8.

$$p=2$$

Решите уравнение p=\frac{3±13}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 3.

$$p=-\frac{10}{8}$$

Привести дробь \frac{-10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Уравнение решено.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$4p^{2}-3p=10$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

Деление -\frac{3}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{9}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Коэффициент p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Упростите.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Прибавьте \frac{3}{8} к обеим частям уравнения.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$