Решить 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Найдите n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4n^{2}+an+bn-11. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -44 продукта.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-11 b=4$$

Перепишите 4n^{2}-7n-11 как \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Вынесите за скобки n в 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Вынесите за скобки общий член 4n-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4n-11=0 и n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4n^{2}-7n=11$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Если из 11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -7 вместо b и -11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Прибавьте 49 к 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Решите уравнение n=\frac{7±15}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Привести дробь \frac{22}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Решите уравнение n=\frac{7±15}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 15 из 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Разделите -8 на 8.

$$n=-1$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Разделите -\frac{7}{4}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{7}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{8} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Прибавьте \frac{11}{4} к \frac{49}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Разложите n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Упростите.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Прибавьте \frac{7}{8} к обеим частям уравнения.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$