Решить 4n^2+34n-140=0

$$4 n ^ { 2 } + 34 n - 140 = 0$$

Найдите n

$$n = \frac{\sqrt{849} - 17}{4} \approx 3,034401142$$

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}\approx -11,534401142$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 34 вместо b и -140 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 34 в квадрат.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 4\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156-16\left(-140\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -140.

$$n=\frac{-34±\sqrt{1156+2240}}{2\times 4}$$

Прибавьте 1156 к 2240.

$$n=\frac{-34±\sqrt{3396}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 3396.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8}$$

Решите уравнение n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -34 к 2\sqrt{849}.

$$n=\frac{2\sqrt{849}-34}{8}$$

Разделите -34+2\sqrt{849} на 8.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4}$$

Решите уравнение n=\frac{-34±2\sqrt{849}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{849} из -34.

$$n=\frac{-2\sqrt{849}-34}{8}$$

Разделите -34-2\sqrt{849} на 8.

$$n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+34n-140=0$$

Прибавьте 140 к обеим частям уравнения.

$$4n^{2}+34n-140-\left(-140\right)=-\left(-140\right)$$

Если из -140 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4n^{2}+34n=-\left(-140\right)$$

Вычтите -140 из 0.

$$4n^{2}+34n=140$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4n^{2}+34n}{4}=\frac{140}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$n^{2}+\frac{34}{4}n=\frac{140}{4}$$

Привести дробь \frac{34}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=\frac{140}{4}$$

Разделите 140 на 4.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n=35$$

Деление \frac{17}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{17}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{17}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=35+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{17}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=35+\frac{289}{16}$$

Прибавьте 35 к \frac{289}{16}.

$$n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}=\frac{849}{16}$$

Коэффициент n^{2}+\frac{17}{2}n+\frac{289}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{849}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{849}{16}}$$

Упростите.

$$n+\frac{17}{4}=\frac{\sqrt{849}}{4} n+\frac{17}{4}=-\frac{\sqrt{849}}{4}$$

Вычтите \frac{17}{4} из обеих частей уравнения.

$$n=\frac{\sqrt{849}-17}{4} n=\frac{-\sqrt{849}-17}{4}$$