Решить 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 4 на x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4x^{2}+4 на 2x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Чтобы умножить 5 на x^{4}-2x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Вычтите 5x^{4} из обеих частей уравнения.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Объедините 8x^{4} и -5x^{4}, чтобы получить 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Прибавьте 10x^{2} к обеим частям.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Объедините 12x^{2} и 10x^{2}, чтобы получить 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Вычтите 5 из 4, чтобы получить -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Замените t на x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на 22 и c на -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Решение t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Так как x=t^{2}, получены решения по оценке x=±\sqrt{t} для каждого t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Найдите x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 4 на x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4x^{2}+4 на 2x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(x^{2}-1\right)^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Чтобы возвести степень в другую степень, перемножьте показатели. Перемножьте 2 и 2, чтобы получить 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Чтобы умножить 5 на x^{4}-2x^{2}+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Вычтите 5x^{4} из обеих частей уравнения.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Объедините 8x^{4} и -5x^{4}, чтобы получить 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Прибавьте 10x^{2} к обеим частям.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Объедините 12x^{2} и 10x^{2}, чтобы получить 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Вычтите 5 из 4, чтобы получить -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Замените t на x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 3, b на 22 и c на -1.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Выполните арифметические операции.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Решение t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Так как x=t^{2}, получаемые решения см. при проверке x=±\sqrt{t} для положительных t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$