Решить 4(x+3)^2=9(2x-1)^2

$$4 ( x + 3 ) ^ { 2 } = 9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }$$

Найдите x

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2,25$$

$$x=-\frac{3}{8}=-0,375$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+6x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Чтобы умножить 9 на 4x^{2}-4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Вычтите 36x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Объедините 4x^{2} и -36x^{2}, чтобы получить -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Прибавьте 36x к обеим частям.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Объедините 24x и 36x, чтобы получить 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Вычтите 9 из 36, чтобы получить 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -32x^{2}+ax+bx+27. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=60 ab=-32\times 27=-864$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -864.

$$-1,864 -2,432 -3,288 -4,216 -6,144 -8,108 -9,96 -12,72 -16,54 -18,48 -24,36 -27,32$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+864=863 -2+432=430 -3+288=285 -4+216=212 -6+144=138 -8+108=100 -9+96=87 -12+72=60 -16+54=38 -18+48=30 -24+36=12 -27+32=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 60.

$$a=72 b=-12$$

Перепишите -32x^{2}+60x+27 как \left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right).

$$\left(-32x^{2}+72x\right)+\left(-12x+27\right)$$

Разложите -8x в первом и -3 в второй группе.

$$-8x\left(4x-9\right)-3\left(4x-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4x-9\right)\left(-8x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4x-9=0 и -8x-3=0у.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+6x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Чтобы умножить 9 на 4x^{2}-4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Вычтите 36x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Объедините 4x^{2} и -36x^{2}, чтобы получить -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Прибавьте 36x к обеим частям.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Объедините 24x и 36x, чтобы получить 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$-32x^{2}+60x+36-9=0$$

Вычтите 9 из 36, чтобы получить 27.

$$-32x^{2}+60x+27=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -32 вместо a, 60 вместо b и 27 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Возведите 60 в квадрат.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\left(-32\right)\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте -4 на -32.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+128\times 27}}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте 128 на 27.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+3456}}{2\left(-32\right)}$$

Прибавьте 3600 к 3456.

$$x=\frac{-60±\sqrt{7056}}{2\left(-32\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 7056.

$$x=\frac{-60±84}{2\left(-32\right)}$$

Умножьте 2 на -32.

$$x=\frac{-60±84}{-64}$$

Решите уравнение x=\frac{-60±84}{-64} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -60 к 84.

$$x=\frac{24}{-64}$$

Привести дробь \frac{24}{-64} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{3}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-60±84}{-64} при условии, что ± — минус. Вычтите 84 из -60.

$$x=-\frac{144}{-64}$$

Привести дробь \frac{-144}{-64} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=\frac{9}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{3}{8} x=\frac{9}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+6x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(2x-1\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+24x+36=9\left(4x^{2}-4x+1\right)$$

Чтобы умножить 9 на 4x^{2}-4x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+24x+36=36x^{2}-36x+9$$

Вычтите 36x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}+24x+36-36x^{2}=-36x+9$$

Объедините 4x^{2} и -36x^{2}, чтобы получить -32x^{2}.

$$-32x^{2}+24x+36=-36x+9$$

Прибавьте 36x к обеим частям.

$$-32x^{2}+24x+36+36x=9$$

Объедините 24x и 36x, чтобы получить 60x.

$$-32x^{2}+60x+36=9$$

Вычтите 36 из обеих частей уравнения.

$$-32x^{2}+60x=9-36$$

Вычтите 36 из 9, чтобы получить -27.

$$-32x^{2}+60x=-27$$

Разделите обе части на -32.

$$\frac{-32x^{2}+60x}{-32}=-\frac{27}{-32}$$

Деление на -32 аннулирует операцию умножения на -32.

$$x^{2}+\frac{60}{-32}x=-\frac{27}{-32}$$

Привести дробь \frac{60}{-32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=-\frac{27}{-32}$$

Разделите -27 на -32.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x=\frac{27}{32}$$

Деление -\frac{15}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{16}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{27}{32}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{27}{32}+\frac{225}{256}$$

Прибавьте \frac{27}{32} к \frac{225}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}=\frac{441}{256}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{15}{8}x+\frac{225}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}=\frac{441}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{256}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{16}=\frac{21}{16} x-\frac{15}{16}=-\frac{21}{16}$$

Прибавьте \frac{15}{16} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9}{4} x=-\frac{3}{8}$$