Решить 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Вычтите 169 из 4, чтобы получить -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-165. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 8.

$$a=-22 b=30$$

Перепишите 4x^{2}+8x-165 как \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Разложите 2x в первом и 15 в второй группе.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-11=0 и 2x+15=0у.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Вычтите 169 из 4, чтобы получить -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 8 вместо b и -165 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Прибавьте 64 к 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±52}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Привести дробь \frac{44}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±52}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 52 из -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Привести дробь \frac{-60}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Чтобы умножить 4 на x^{2}+2x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Вычтите 169 из 4, чтобы получить -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Прибавьте 165 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$4x^{2}+8x=165$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Разделите 8 на 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Деление 2, коэффициент x термина, 2 для получения 1. Затем добавьте квадрат 1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Прибавьте \frac{165}{4} к 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Коэффициент x^{2}+2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$