Решить 4z^2+160z=600

$$4 { z }^{ 2 } +160z = 600$$

Найдите z

$$z=5\sqrt{22}-20\approx 3,452078799$$

$$z=-5\sqrt{22}-20\approx -43,452078799$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4z^{2}+160z=600$$

Вычтите 600 из обеих частей уравнения.

$$4z^{2}+160z-600=600-600$$

Если из 600 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4z^{2}+160z-600=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 160 вместо b и -600 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 160 в квадрат.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600+9600}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25600 к 9600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{35200}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 35200.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}$$

Решите уравнение z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -160 к 40\sqrt{22}.

$$z=\frac{40\sqrt{22}-160}{8}$$

Разделите -160+40\sqrt{22} на 8.

$$z=5\sqrt{22}-20$$

Решите уравнение z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 40\sqrt{22} из -160.

$$z=\frac{-40\sqrt{22}-160}{8}$$

Разделите -160-40\sqrt{22} на 8.

$$z=-5\sqrt{22}-20$$

Уравнение решено.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+160z=600$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4z^{2}+160z}{4}=\frac{600}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$z^{2}+\frac{160}{4}z=\frac{600}{4}$$

Разделите 160 на 4.

$$z^{2}+40z=\frac{600}{4}$$

Разделите 600 на 4.

$$z^{2}+40z=150$$

Разделите 40, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 20. Затем добавьте квадрат 20 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$z^{2}+40z+20^{2}=150+20^{2}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$z^{2}+40z+400=150+400$$

Прибавьте 150 к 400.

$$z^{2}+40z+400=550$$

Разложите z^{2}+40z+400 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+20\right)^{2}=550$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+20\right)^{2}}=\sqrt{550}$$

Упростите.

$$z+20=5\sqrt{22} z+20=-5\sqrt{22}$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$