Решить 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Найдите y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: y^{2}+ay+by-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-2 b=1$$

Перепишите y^{2}-y-2 как \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Вынесите за скобки y в y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Вынесите за скобки общий член y-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-2=0 и y+1=0у.

$$y=2 y=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Решите уравнение y=\frac{4±12}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Разделите 16 на 8.

$$y=2$$

Решите уравнение y=\frac{4±12}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 12 из 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Разделите -8 на 8.

$$y=-1$$

Уравнение решено.

$$y=2 y=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Вычтите -8 из 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Разделите 8 на 4.

$$y^{2}-y=2$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 2 к \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Коэффициент y^{2}-y+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$y=2 y=-1$$