Решить 4x^2-7x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -7x-15 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-12 b=5$$

Перепишите 4x^{2}-7x-15 как \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)$$

Разложите 4x в первом и 5 в второй группе.

$$4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(4x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и 4x+5=0у.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -7 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 4}$$

Прибавьте 49 к 240.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 289.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 4}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±17}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{7±17}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{7±17}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 17.

$$x=\frac{24}{8}$$

Разделите 24 на 8.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{7±17}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 17 из 7.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Привести дробь \frac{-10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$4x^{2}-7x=15$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{15}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}$$

Деление -\frac{7}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}$$

Прибавьте \frac{15}{4} к \frac{49}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}$$

Прибавьте \frac{7}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$