Решить 4x^2-5x-6=15

$$4 { x }^{ 2 } -5x-6=15$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Вычтите 15 из -6, чтобы получить -21.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-12 b=7$$

Перепишите 4x^{2}-5x-21 как \left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right)$$

Разложите 4x в первом и 7 в второй группе.

$$4x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и 4x+7=0у.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-5x-6-15=15-15$$

Если из 15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Вычтите 15 из -6.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -5 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Прибавьте 25 к 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{5±19}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{5±19}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 19.

$$x=\frac{24}{8}$$

Разделите 24 на 8.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{5±19}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из 5.

$$x=-\frac{14}{8}$$

Привести дробь \frac{-14}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=15-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-5x=15-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 15.

$$4x^{2}-5x=21$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{21}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{21}{4}$$

Деление -\frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{21}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{21}{4}+\frac{25}{64}$$

Прибавьте \frac{21}{4} к \frac{25}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{361}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{19}{8}$$

Прибавьте \frac{5}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$