Решить 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Разделите 4+4\sqrt{17} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{17} из 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Разделите 4-4\sqrt{17} на 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Если из -16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Вычтите -16 из 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Разделите 16 на 4.

$$x^{2}-x=4$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 4 к \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$