Решить 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -4.

$$a=-10 b=6$$

Перепишите 4x^{2}-4x-15 как \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-5=0 и 2x+3=0у.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -4 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Прибавьте 16 к 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Привести дробь \frac{20}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{4±16}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{-12}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Разделите -4 на 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Прибавьте \frac{15}{4} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Коэффициент x^{2}-x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$