Решить 4x^2-3x=10

$$4 { x }^{ 2 } -3x=10$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-3x-10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-8 b=5$$

Перепишите 4x^{2}-3x-10 как \left(4x^{2}-8x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(5x-10\right)$$

Разложите 4x в первом и 5 в второй группе.

$$4x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(4x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 4x+5=0у.

$$x=2 x=-\frac{5}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-3x=10$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$4x^{2}-3x-10=10-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-3x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -3 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

Прибавьте 9 к 160.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±13}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{3±13}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{3±13}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 13.

$$x=\frac{16}{8}$$

Разделите 16 на 8.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{3±13}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 3.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Привести дробь \frac{-10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-\frac{5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-3x=10$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{10}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{10}{4}$$

Привести дробь \frac{10}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{5}{2}$$

Деление -\frac{3}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{9}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

Прибавьте \frac{3}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=-\frac{5}{4}$$