Решить 4x^2-2x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-3 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1,151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0,651387819$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -2 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

Прибавьте 4 к 48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 52.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -2, равно 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 2 к 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

Разделите 2+2\sqrt{13} на 8.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{13} из 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

Разделите 2-2\sqrt{13} на 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$4x^{2}-2x=3$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Привести дробь \frac{-2}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

Деление -\frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте \frac{3}{4} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$