Решить 4x^2-21x-18=0

$$4 { x }^{ 2 } -21x-18=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-21 ab=4\left(-18\right)=-72$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -21.

$$a=-24 b=3$$

Перепишите 4x^{2}-21x-18 как \left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-6=0 и 4x+3=0у.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -21 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -21 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -18.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 4}$$

Прибавьте 441 к 288.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 729.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 4}$$

Число, противоположное -21, равно 21.

$$x=\frac{21±27}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$x=\frac{21±27}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{21±27}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 21 к 27.

$$x=\frac{48}{8}$$

Разделите 48 на 8.

$$x=6$$

Решите уравнение x=\frac{21±27}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 27 из 21.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Привести дробь \frac{-6}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Прибавьте 18 к обеим частям уравнения.

$$4x^{2}-21x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Если из -18 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4x^{2}-21x=-\left(-18\right)$$

Вычтите -18 из 0.

$$4x^{2}-21x=18$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4x^{2}-21x}{4}=\frac{18}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x=\frac{18}{4}$$

Привести дробь \frac{18}{4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x=\frac{9}{2}$$

Деление -\frac{21}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{21}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{21}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{21}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{9}{2}+\frac{441}{64}$$

Прибавьте \frac{9}{2} к \frac{441}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{729}{64}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{729}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{64}}$$

Упростите.

$$x-\frac{21}{8}=\frac{27}{8} x-\frac{21}{8}=-\frac{27}{8}$$

Прибавьте \frac{21}{8} к обеим частям уравнения.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$